( Variables Cuantitativas )
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INTRODUCCIÓN |
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| MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
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La mayoría de los
levantamientos de encuestas mantienen una tendencia bien
definida a agruparse o aglomerarse alrededor de cierto punto
central. Siempre se puede obtener un valor típico
que representa o describe a todos los demás datos
de la muestra |
Las principales medidas
de tendencia central son: |
- Media Aritmética
- Mediana
- Moda
- Cuartiles
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MEDIA
ARITMÉTICA |
Es la medida de tendencia
central más utilizada, también se le
conoce con el nombre de Promedio.
Para calcular la media aritmética, se suman
todos los datos de la muestra y el resultado se divide
entre el total de datos. |
Representa el punto
de equilibrio de un conjunto de datos numéricos.
La media aritmética puede ser calculada para
una muestra o para una población; la simbología
de la media aritmética es la siguiente: |
Media
aritmética para una población
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: |
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Media
aritmética para una muestra |
: |
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La fórmula
para calcular la media aritmética es la siguiente:
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| Es decir, sume todos los datos
de la muestra y el resultado lo divide entre el número
de encuestas |
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EJEMPLO |
Se define en minutos el tiempo
que le lleva arreglarse, desde que se levanta
hasta que sale de su casa. A lo largo de 10
días hábiles consecutivo, Usted
cronometró el tiempo (rendodeado en
minutos) que tardó en arreglarse y
los resultados obtenidos fueron los siguientes.
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39 |
29 |
43 |
52 |
39 |
44 |
40 |
31 |
44 |
35 |
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| Calcular
el tiempo promedio que tarda en arreglarse. |
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Desarrollo:
Se suman todos lo minutos que cronometró
en los 10 días y el resultado se
divide entre 10.
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En promedio
tarda 40 minutos en arreglarse.
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EJEMPLO |
Un fabricante de baterías para
linternas tomó una muestra de 13
baterías en un día de producción
y las usó hasta que se agotaron.
Las horas que funcionaron sin fallar fueron
las siguientes:
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¿En promedio cuántas
horas duraronn las linternas de la muestra?
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Desarrollo:
Se suman las duraciones de las 13 linternas
y el resultado se divide entre 13.
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En promedio,
las baterías de la muestra tuvieron
una duración de 473.46 horas.
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MEDIANA |
Es el valor medio de un arreglo
ordenado (datos numéricos). Si no hay empates,
la primera mitad de las observaciones será
menor que la mediana y la segunda mitad será
mayor que la mediana.
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Si un valor
extremo se presenta en una secuencia de datos, es
mejor utilizar la mediana. La mediana es el valor
que tiene a su izquierda el 50% de los datos menores
y a su derecha el 50% de los datos mayores. |
No hay una
fórmula definida para el cálculo de
la mediana; sin embargo, si se conoce la posición
del dato o datos central(les) se hace el cálculo
de inmediato. Para conocer la posición del
dato central se sigue la siguiente fórmula:
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El resultado puede
ser un número entero o un número decimal,
en este caso se aplica uno de los siguientes criterios.
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- Si el resultado es un número entero,
el resultado de la mediana es el valor que se
encuentre en esa posición
- Si el resultado es un número decimal,
se toman los dos números enteros que están
a ambos lados, se suman y su resultado se divide
entre 2 (es decir, se le calcula el valor promedio
o media aritmética)
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Es importante
recordar que para el cálculo de la mediana,
los datos de la muestra deben estar ordenados. |
EJEMPLO 1 |
Se toma una muestra
de la estatura de 15 atletas que participan
en los juegos panamericanos y se quiere
determinar la estatura mediana del equpo.
Los datos de la muestra (en años)
es la siguiente:
|
1.67 |
1.80 |
1.75 |
1.50 |
1.90 |
1.74 |
1.75 |
1.86 |
1.76 |
1.75 |
1.91 |
1.75 |
1.73 |
1.70 |
1.72 |
|
|
La
muestra de 15 datos no está ordenada
de menor a mayor, proceder a ordenarla.
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1.50 |
1.67 |
1.70 |
1.72 |
1.73 |
1.74 |
1.75 |
1.75 |
1.75 |
1.75 |
1.76 |
1.80 |
1.86 |
1.90 |
1.91 |
|
Aplicar
la fórmula para n=15 |
|
En
la muestra ordenada buscar la posición
# 8 |
1.50 |
1.67 |
1.70 |
1.72 |
1.73 |
1.74 |
1.75 |
1.75 |
1.75 |
1.75 |
1.76 |
1.80 |
1.86 |
1.90 |
1.91 |
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Ahora
cuente el número de datos que están
antes de 1.75 y el número de datos
después de 1.75 |
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Antes
de la mediana hay 7 datos y después
también hay 7; esto significa que
a la izquierda de la mediana tenemos el
50% de los datos y a la derecha el otro
50%. |
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La
edad mediana es 1.75 cms |
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EJEMPLO 2 |
Suponga que la muestra
está integrada por los valores
netos de los activos de 14 fondos de
acciones generales nacionales, que están
clasificados como fondos mixtos de capitalización
pequeña. Los datos sin procesar,
que presentan los valores netos de activos
(en dólares) para estos fondos,
son los siguientes:
|
7.35 |
17.30 |
11.62 |
26.10 |
21.69 |
21.17 |
14.07 |
14.09 |
24.01 |
20.34 |
18.26 |
37.61 |
18.60 |
16.95 |
|
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La
muestra de 14 datos no está ordenada
de menor a mayor, proceder a ordenarla.
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7.35 |
11.62 |
14.07 |
14.09 |
16.95 |
17.30 |
18.26 |
18.60 |
20.34 |
21.17 |
21.69 |
24.01 |
26.10 |
37.61 |
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|
Aplicar
la fórmula para n=14: |
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El
número real 7.5 está
entre 7 y 8 |
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|
En
la muestra ordenada buscar la posición
#7 y la posición #8 |
7.35 |
11.62 |
14.07 |
14.09 |
16.95 |
17.30 |
18.26 |
18.60 |
20.34 |
21.17 |
21.69 |
24.01 |
26.10 |
37.61 |
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La posición
7 está ocupada por $18.26 y la
8 por $18.60, el siguiente paso es calcular
el promedio de ambos datos. |
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La mediana es 18.43
dólares. |
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MODA |
Es el valor que aparece con mayor
frecuencia en una muestra. La ocurrencia de un dato
extremo no afecta el resultado de la moda. De igual
manera puede suceder que:
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- La moda esté en los extremos
- Haya más de una moda
- La moda no exista
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Para la moda no hay una fórmula,
pero su símbolo es el siguiente:
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EJEMPLO 1
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En una fábrica
de zapatos se toma una muestra de
10 pares de sandalias para determinar
cúal es el número de
sandalia que más se produce
por área. Los datos de la muestra
obtenida son:
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- Si se ordena la muestra, resulta
lo siguiente:
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- Al revisar
la frecuencia de cada uno de los números
producidos se observa lo siguiente
|
- Sandalia #5 son 3 pares
- Sandalia #6 son 2 pares
- Sandalia #7 son 2 pares
- Sandalia #8 son 2 pares
- Sandalia #9 es 1 par
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El número de
sandalia que más se produjo en
la muestra es el número 5, por
lo tanto la moda es 5, el resultado
se representa así: |
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EJEMPLO 2
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En una ciudad grande
los alquileres varían dependiendo
del área de residencia. Se
toma una muestra de 10 apatamentos
sin amueblar, tanto en el área
del centro como en las colonias de
la ciudad. Se quiere determinar cuál
es el precio que más se cotiza,
tanto en el centro como en las colonias.
Los datos de las muestra están
en dólares y son:
|
Apartamentos en
el centro de la ciudad
|
| 955 |
1000 |
985 |
980 |
940 |
985 |
965 |
985 |
1247 |
1119 |
|
Apartamentos en las colonias
|
750 |
775 |
725 |
705 |
694 |
725 |
690 |
745 |
575 |
800 |
|
- Al ordenar
las muestras se obtiene el siguiente
resultado:
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| 940 |
955 |
965 |
980 |
985 |
985 |
985 |
1000 |
1119 |
1247 |
|
| |
575 |
690 |
694 |
705 |
725 |
725 |
745 |
750 |
775 |
800 |
|
- En la muestra
de apartamentos en el centro de la
ciudad, el dato que más se
repite es 985.
- En la muestra
de apartamentos en las colonias el
dato que más se repite es 725.
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CUANTILES |
Los cuantiles son medidas de posición
"no central" que se utilizan conmayor
frecuencia y se emplean sobre todo para resumir
o describir las propiedades de conjuntos grandes
de datos numéricos. Los tipos de cuantiles
se catalogan como:
|
-
Cuartiles
-
Deciles
-
Percentiles
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CUARTILES
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De la misma manera que la mediana
divide un conjunto de datos en dos grupos iguales,
los cuartiles lo dividen en cuatro grupos iguales.
Cada grupo está formado por 25% de los datos
de la muestra.
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|
La obtención
de los cuartiles depende del número de datos
de la muestra; se utiliza el mismo concepto del cálculo
de la mediana. Para cada cuartil se diseña
una fórmula y éstos van de 1 a 3; aunque
podemos tener una común. |
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|
La
i toma el valor del cuartil que se elige, ya sea 1, 2 ó
3 |
EJEMPLO |
La muestra de los valores
netos de los activos de 17 fondos de acciones
generales están clasificados como fondos
mixtos de capitalización pequeña.
Los datos sin procesar presentan los valores
netos de activos (en dólares) para
estos fondos y son:
|
10.0 |
20.6 |
28.6 |
28.6 |
29.4 |
29.5 |
29.9 |
30.1 |
30.5 |
30.5 |
32.1 |
32.2 |
32.4 |
33.0 |
35.2 |
37.1 |
38.0 |
|
|
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El 25% de los
fondos mixtos de capitalización pequeña
tienen un redimiento anual menor de US$29.00
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El
75% de los fondos mixtos de capitalización
pequeña tienen un rendimiento anual
de US$32.7
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El
50% de los fondos mixtos de capitalización
pequeña tienen un rendimiento anual
menos de US$30.50
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| OTROS CUANTILES |
Deciles |
Dividen la muestra en
10 partes iguales |
Percentiles |
Dividen la muestra en 100 partes
iguales |
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